Eukleides a Riemann na Šumavě

Ondřej Chvojka: již více než rok se vídáváme v hartmanickém kostele na nedělních bohoslužbách, nevědouce, že se oba zabýváme filosofií. Naštěstí se spolu seznámily naše manželky a tedy nakonec i my, ne příliš společenští filosofové. Ondřej ze zabývá filosofií matematiky, je studentem a spolupracovníkem Petra Vopěnky. V současnosti píše doktorskou práci na habilitační přednášku "Hypotézy, které leží v základu geometrie" Bernharda Riemanna (1826-1866) z r. 1854.

Na internetu je k dispozici krátká Onřejova recenze nového vydání prvních čtyř knih Eukleidových Základů:

Nové vydání prvních čtyř knih Základů, věnovaných planimetrii, je uvedeno Vopěnkovým uceleným shrnutím vzniku a vývoje Základů a objasněním vztahu nového a Servítova [prvního českého] vydání. Úvod pak pokračuje názornou hypotetickou rekonstrukcí geometrie praktických zeměměřičů, která obsahuje elegantní evidence základních geometrických vět (Pythagorova věta, převod triangulovatelných útvarů na čtverec či obdélník stejného obsahu apod.). Na tento úvod navazuje již samotný Servítův překlad prvních čtyř knih Základů ... Kniha první pojednává „o úsečkách, trojúhelnících, rovnoběžnících a vzájemnosti jejich“ a uvádí tvrzení i důkazy například věty o součtu úhlů v trojúhelníku, Pythagorovy věty nebo vět o rovnostech obsahů různých plošných triangulovatelných útvarů. Kniha druhá se zabývá „dělením úseček a jeho důsledky“ a předkládá například zamlčenou konstrukci zlatého řezu úsečky, zárodek kosinové věty a převod libovolného konvexního čtyřúhelníka na čtverec stejného obsahu. Kniha třetí je věnována „kruhu a jeho vlastnostem“, například vztahu středového a obvodového úhlu, dále součtu vnitřních úhlů čtyřúhelníka do kružnice vepsaného, Thaletově větě a mocnosti bodu ke kružnici. Konečně kniha čtvrtá pojednává „o kruhu ve spojení s jinými útvary“, tedy o opsání různých pravidelných útvarů okolo dané kružnice a také o jejich vepsání.

Eukleides je skvělá škola "vizualizace deduktivního myšlení", protože geometrie v antickém pojetí zakládá aritmetiku (čísla jsou reprezentovány úsečkami a násobení dvou čísel plochami, člověk tedy může např. vidět pravdu některých kvadratických rovností, viz kniha II). Eukleides je možná pro dnešního čtenáře obtížný, ale je to čtení klasické a je otázkou zda existuje stejně dobrá náhrada (velkou pomocí je mi onlinové vydání Základů Davida Joyceho). Česká středoškolská geometrie důstojnou náhradou není, je to taková podivná směs eukleidismu a hilbertismu (zajímavé je také srovnání starověkého Eukleidova pojetí s pojetím novověkým, ovšem stále předmnožinovým, např. u Adrien-Marie Legendre (1752–1833), Elements of Geometry, 1858 trans. from French 1817).