1. Eukleidovy Základy se zabývají jen těmi geometrickými objekty, které lze umístit do zorného pole geometrů.
"Předmětem studia té geometrie, o níž pojednávají Eukleidovy Základy, nejsou tvary a velikosti reálných objektů, jak tomu bylo v případě napínačů provazů, ale ideální objekty antického geometrického světa, skrývající se pod reálnými objekty. Za objevitele tohoto ideálního antického geometrického světa ... byl považován Pythagoras ze Samu (6 stol. př. Kr.) ... což lze usoudit z následujících slov, která napsal Proklos (410-484): Pythagoras změnil geometrickou vědu v podobu svobodné nauky tím, že obecně zkoumal její základy a že probíral poučky nehmotně a pomyslně; nalezl také nauku o iracionálních poměrech a o složení světových tvarů [jde patrně o pět pravidelných těles].[Svoboda zl. 14A6]
O tom, že vskutku jde o nový, dosud neobvyklý svět, svědčí kromě jiného následující Aristotelova slova týkající se názorů, které hlásal Protagoras z Abdery (485-410): Ani vnímatelné čáry nejsou takové, o jakých mluví geometr. Vždyť z vnímatelných věcí není nic tak přímé ani okrouhlé, nýbrž kruh se nedotýká pravítka v jednom bodě, nýbrž tak, jak tvrdil Protagoras, vyvraceje geometry.
Byly doby, kdy jsme geometrický svět neznali. Děti, které se dosud neučili geometrii, ho neznají. Učitel jim tento svět otevře. Jeho úkol je zdánlivě nesplnitelný, neboť ho nemůže ani ukázat, ani nenalezne dostatek slov, jimiž by ho popsal. Může pouze různě tento svět navozovat. Například narýsovat čáry pomocí pravítka a kružítka a říci, že se úsečkám a kružnicích podobají, avšak ukázat na nich může jen to, čím se jim nepodobají. Do geometrického světa můžeme někoho vést jen na kus cesty, můžeme ho přivést jen před jeho bránu, rozhodující krok však musí učinit každý sám.
Do geometrického světa rovněž nahlížíme, ne však očima; geometrický svět rovněž poznáváme, ne však obvyklými smysly. Geometrické vidění, to je vidění, jímž do geometrického světa nahlížíme, je jakýmsi šestým smyslem. Není to vidění o nic méně zřetelné než vidění reálného světa zrakem. Něco v geometrickém světě vidíme zcela jasně, složitost jiného brání tomu, abychom to prohlédli jediným pohledem. I v geometrickém světě vidíme něco hned a něco teprve tehdy, když se podíváme vhodným způsobem.
Kdo geometrické vidění postrádá, nemůže s námi do geometrického světa nahlížet; může pouze sledovat, co si budeme o tomto světě vypravovat. Je jako nevidomý, jenž stojí v obrazárně a poslouchá, co si lidé o obrazech říkají, nebo jako neslyšící, jenž sleduje koncert z notového záznamu.
Prve uvedená Protagorova úvaha může sloužit jako kriterium neznalosti geometrického světa. Kdo totiž není schopen nahlédnout, že úsečka se kružnice dotýká v jediném bodě, ten až do geometrického světa neprohlédl." (Vopěnka, úvodní studie "Otevření antického geometrického světa" Eukleides I-IV, 2007)
2. Logika je služebnicí názoru a ne naopak; její úlohou je názor tříbit, upevňovat a v neposlední řadě i dotvářet.
"Díky geometrickému vidění lze také v (antickém ideálním) geometrickém světě přivádět nejrůznější poznatky k evidenci. ... Pro takovéto pojetí geometrie jsou ovšem obrázky geometrických objektů mnohem hodnotnějším nástrojem poznávání než slova. ... Lze se odůvodněně domnívat, že právě s tímto záměrem přistupoval Eukleides ke psaní Základů. Hned po seznamu základních pojmů vyslovil jako axiomy ty zásady, které jsme uvedli v naší hypotetické příručce pro napínače provazů. Tyto zásady (axiomy) hrají totiž i v ideálním antickém geometrickém světě úlohu přímých pokynů k evidencím." ("Otevření antického geometrického světa" Eukleides I-IV, 2007)
3. V Eukleidových Základech jsou geometrické objekty uchopeny druhým ["vytvářejícím"] způsobem.
"Abychom mohli nějaký geometrický objekt nazírat, musíme ho vytvořit z prázdnoty, která ho v geometrickém světě obestírá. Když se pak někdy na přelomu středověku a novověku tato prázdnota stala předmětem studia geometrů, obdržela název prostor. Vynořování geometrických objektů z prázdnoty bývá vykládáno dvojím způsobem.
Za prvé. Všechny geometrické objekty jsou již vytvořeny; jejich bytí je trvalé a neměnné. Jsou však zakryty clonou prázdnoty, kterou je třeba odhalovat, chceme-li je nazírat. Vynořování geometrických objektů z prázdnoty je v tomto případě odstraňování clony, která je přikrývá.
Za druhé. Geometr v této prázdnotě geometrické objekty vytváří, a to tak, že si je představuje. Bytí geometrických objektů v tomto případě není trvalé, je však obnovitelné. Vynořování geometrických objektů je tedy jejich tvořením."
Tomu odpovídají i dva základní způsoby uchopení ideálních předmětů matematických studií. První byl později nazýván platónským, druhý eukleidovsko-aristotelským. ... V Eukleidových Základech jsou geometrické objekty uchopeny druhým ze shora uvedených způsobů. V tomto díle se totiž na příkladě geometrických objektů toto uchopení ideálních objektů zrodilo a od té doby převládalo v matematice až do začátku dvacátého století. Nicméně v Základech jsou natolik zřetelné stopy po platónském myšlení, že z nich lze platónské pojetí geometrie rekonstruovat." ("Otevření antického geometrického světa" Eukleides I-IV, 2007)
4. Z daných geometrických objektů vytváříme další výhradně jen eukleidovskými konstrukcemi.
"Jestliže na daném geometrickém objektu přivedeme k evidenci nějaké tvrzení cestou přímých pokynů, pak nám tento objekt staví pravdivost tohoto tvrzení přímo před oči a my jsme ji z tohoto objektu vlastně jen sebrali. Budeme-li se však dívat na pravoúhlý trojúhelník jakkoliv dlouho, to znamená výhradně jen na něj, pak nikdy nenahlédneme pravdivost Pythagorovy věty. Samotný pravoúhlý trojúhelník, dokonce ani s přidanými čtverci nad jeho stranami, nám tuto pravdu nikdy nevydá. Jakmile však tento trojúhelník rozšíříme do vhodného obsáhlejšího objektu ... přivedeme Pythagorovu větu k evidenci již snadno cestou podle přímých pokynů na tomto obsáhlejším objektu. [viz I.47]
Při odkrývání skrytých pravd týkajících se geometrických objektů postupujeme tedy tak, že daný objekt vhodným způsobem rozšíříme do obsáhlejšího objektu, to znamená vytvoříme vhodný obsáhlejší objekt. Tím se nám skrytá pravda vyjeví jako pravda buď již evidentní, nebo evidovatelná cetou podle přímých pokynů na tomto obsáhlejším objektu. Obtížnost a netriviálnost odkrývání skrytých pravd spočívá tedy právě v nalezení vhodného obsáhlejšího geometrického objektu.
Vytváření obsáhlejších objektů k objektům daným je ovšem nutno provádět tak, aby bylo vždy obnovitelné a každému dobře srozumitelné. Proto tyto obsáhlejší objekty konstruujeme postupným prováděním úkolů obsažených v postulátech, neboli prováděním úkolů prvotných ... Eukleides uvádí následující tři neproblematické postuláty (viz 14.7.2011)
- Postulát 1: Vytvořit úsečku, která spojuje dva dané různé body. Taková úsečka může být pochopitelně jen jediná, co ale ze znění tohoto postulátu přímo neplyne. Proto v mnohých vydáních Základů bývá k zásadám přidávána ještě následující zásada ... : Dvě samotné úsečky žádné místo neohraničují.
- Postulát 2: Danou úsečku na jedné i druhé straně prodloužit tak daleko, jak potřebujeme (a pochopitelně v souladu s prvním principem zachycujícím Eukleidovo pojetí geometrie jen tak daleko kam dohlédneme.) ...
- Postulát 3: Vytvořit kruh o daném středu, na jehož obvodě leží daný bod (rozumí se různý od daného středu).
Eukleidovskou konstrukcí rozumíme takovou konstrukci, jejíž jednotlivé kroky jsou prováděny výhradně jen podle tří shora uvedených postulátů. K tomu ještě poznamenejme, že při eukleidovské konstrukci vznikají tak říkajíc samovolně různé body jakožto průsečíky vytvářených úseček a kružnic. ... Z daných geometrických objektů vytváříme další výhradně jen eukleidovskými konstrukcemi. V Eukleidově pojetí geometrie hrají tedy konstrukce (jmenovitě eukleidovské) rozmanitých žádoucích geometrických objektů neméně významnou roli jako různá tvrzení. Volně řečeno, konstrukce zde zastupují existenční kvantifikátor, který se používá při platonském uchopení předmětu matematického studia." ("Otevření antického geometrického světa" Eukleides I-IV, 2007)
-----------
Vopěnkův eukleidovsko-aristotelský přístup je mi v mnoha ohledech blízký a přesvědčivý. Problémem je malý důraz na axiomatickou výstavbu Základů (chybí např. odkazy na vztahy vyplývání mezi propozicemi, axiomy, postuláty v rámci základů, tak jak je uvádí David Joyce - je ovšem pravda, že v pův. vydání Základů prý nebyly, což možná nebude nedopatřením).
Ad logika: Jako doklad, jak nesamozřejmá je i nejběžnější logika, např. modus ponens, Vopěnka cituje půvabné (a šokující) rozhovory z knihy A. R. Luriji (O historickém vývoji poznávacích procesů, Praha: Academia, 1976, viz také 9.10.2010)
Žádné komentáře:
Okomentovat